act 1.3

ACT. 1.1

auto cad

Ángulos entre paralelas

Ángulos entre paralelas

Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.

Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos nombres. Los llamamos ángulos opuestos por el vértice cuando comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro, como sucede en los ángulos A y C. Decimos que son ángulos adyacentes cuando tienen el vértice y un lado común y los otros lados tales que uno es prolongación del otro. Son adyacentes, por ejemplo, el A y el B.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la figura. Estos ocho ángulos también guardan una estrecha relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.

La posición relativa de los ángulos con respecto a las rectas hace que esos ángulos reciban unos nombres específicos. Así, llamamos ángulos correspondientes a los que están situados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Son correspondientes, por ejemplo, el A y el E, o también el B y el F.

Llamamos ángulos alternos internos los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Son alternos internos el B y el H y también el C y el E.

Son ángulos alternos externos los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

puntos notables del triangulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

 

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

      BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.

Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.

Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

propiedades de las figuras planas

El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general — tanto regulares como irregulares — como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.

Dicho estudio comprende:

Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares;

Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;

Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e irregulares.

Líneas y puntos en los polígonos. En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:

El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.

La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.

El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.

El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.

El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.

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Líneas y puntos en el círculo.

 El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.

 En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:

La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.

El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.

El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.

La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.

La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.

El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.

La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.

El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.

Los ángulos en los polígonos.  En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:

 Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados.

Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

  Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.

Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.

Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.

Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.

Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.

Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.

Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.

Polígonos inscriptos y circunscriptos.

Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia.

Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.

Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.

                       

 Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.

Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.

Cálculo de la superficie de las figuras planas.

 La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.

El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.

 Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.

Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:

SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA

En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.

SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA

La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20. Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.

Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.

 En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.

Propiedad fundamental de los polígonos regulares.

Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:

 En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.

  En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:

Argumentos a favor y en contra de la armonía del rectángulo áureo

Desde los tiempos antiguos el perfeccionamiento de la arquitectura depende del establecimiento de interrelaciones armónicas dentro de un mismo edificio, las obras que consideramos maestras presentan una cadena de proporciones afines entre ellas. De entre los diversos sistemas proporcionales hay uno que ha jugado un papel muy destacado, la Sección Áurea: 1/1,618. Al encontrarse este número proporcional entre las formas animales y vegetales nos acerca a la naturaleza... La proporción es lo que puede purificar la arquitectura con la armonía matemática del pasado y reconciliarla con la naturaleza.

Una de las operaciones más sencillas que existen para afrontar el tema de la proporción consiste en dividir un segmento de línea de la forma asimétrica más simple:

a) Dado el segmento AB, se sitúa sobre BF, perpendicular a AB, un segmento BD = AB/2, y se une A con D. Con un compás, tomando como centro D, se obtiene DE = DB. Después tomando como centro A, se traza el arco de círculo EC, siendo C el punto buscado. La longitud AB se ha dividido en dos partes iguales de forma que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor.

AC/CB = AB/AC

a/b = (a + b)/a

Esta proporción, que corresponde a la partición más simple de una magnitud en dos partes desiguales o partición más lógica, es lo que Euclides en el libro VI, proposición 30, de los Elementos, plantea como «dividir una recta dada en extrema y media razón», y define así al inicio del mismo libro (del 3): «Se dice que una recta está dividida en extrema y media razón, cuando la totalidad del segmento es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor».

Cuando la totalidad del segmento constituye la unidad, la longitud del segmento mayor es 0,618 y la del segmento menor es 0,382.

Hay otra manera sencilla de encontrar esta proporción utilizando regla y compás, y que no parte de la totalidad del segmento sino del segmento mayor

:b) Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE, buscar el punto medio h del lado AC, unir h con D. Con h como centro, trazar desde D, el arco de círculo que haga intersección con la prolongación de AC, con lo que se obtiene el punto B. Tenemos que: AC/CB = AB/AC a/b = a + b/a

La relación a/b resultante de la «división de una recta en media y extrema razón» ha recibido diferentes denominaciones en el transcurso del tiempo, pero las definitivas le fueron otorgadas en el Renacimiento. Luca Pacioli la calificó como Divina Proporción en su obra De Divina Proportione, publicada en Venecia en 1509, en la que justifica tal denominación en base a las correspondencias que encuentra entre esta proporción y la divinidad misma. Destaca cinco:

                                                                                                            

Ella es una y nada más que una y no es posible asignarle otras especies ni diferencias.

Así como in divinis hay una misma sustancia entre tres personas, Padre, Hijo y Espíritu Santo, de la misma manera una misma proporción de esta suerte siempre se encontrará entre tres términos.

Dios, propiamente, no se puede definir ni puede ser entendido por nosotros con palabras; de igual manera esta proporción no puede jamás determinarse con número inteligible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que siempre es oculta y secreta y los matemáticos la llaman irracional.

Así como Dios jamás puede cambiar y es todo en todo, y está todo en todas partes, esta proporción es siempre la misma e invariable y de ninguna manera puede cambiarse.

Finalmente, así como Dios confiere al ser la virtud celeste, por ella a los cuatro elementos y a través de ellos a la naturaleza, esta proporción da el ser formal, aquí Pacioli cita a Platón y a su diálogo Timeo, al cielo mismo, atribuyéndole la figura del dodecaedro, sólido compuesto por doce cartas pentagonales que no es posible formar sin la divina proporción.

Según Pacioli, Leonardo da Vinci fue el ilustrador De Divina Proportione, y es precisamente a él a quien se atribuye la otra denominación con que es conocida esta proporción: sectio aure a (sección áurea) de donde provienen los nombres de Sección de Oro , Golden Section , Goldene Schnitt, Section d'Or , etc.

La sección áurea, que corresponde a la relación a/b, también puede ser expresada por el número que de ella resulta, un número irracional cuyo valor aproximado en fracciones decimales es:

1,61803398875...

o, más simplemente,

1,618 = número de oro

Veamos su construcción gráfica:

AK = AG + GK = √5/2 + 1/2 = √5 +1/2 = 1,618 = Φ

La letra griega Φ fue sugerida por Mark Barr y W. Schooling en los anexos matemáticos del libro de Theodore Cook The Curves of Life para nombrar el número de oro, por ser la letra inicial de Fidias. El número de oro presenta una serie de características que lo convierten en un número realmente único. Matila Ghyka ha demostrado todas sus propiedades aritméticas y algebraicas, y afirma que «esta razón aparece como una invariante logística que procede del cálculo de relaciones y clases del que Peano, Bertrand Russell y Couturat han demostrado que se puede deducir toda la matemática pura partiendo del principio de identidad».

La serie Φ es una progresión geométrica cuya razón es Φ con la siguiente propiedad: un término cualquiera de la serie es igual a la suma de los dos precedentes:

1, Φ, Φ 1 , Φ 2 , ...Φ n , ...

La principal consecuencia práctica de esta propiedad es que partiendo de sus términos consecutivos se puede construir la serie ascendente o descendente de los otros mediante adiciones o sustracciones.

Se trata de una serie multiplicativa y aditiva a la vez, es decir, participa simultáneamente de la naturaleza de una progresión geométrica y de otra aritmética.

El cuadrado es especialmente interesante: el número de oro se eleva al cuadrado sumándole la unidad:

Φ 2 = Φ + 1

Propiedad que resulta notable desde el punto de vista aritmético:

Φ = 1,618

en lugar de multiplicar:

Φ 2 = 1,618 x 1,618

es suficiente escribir:

Φ 2 = Φ + 1 = 2,618.

Suponiendo desconocido el valor de Φ , éste podría ser hallado a partir de la igualdad

Φ 2 = Φ + 1

Se trataría de encontrar un número tal que fuese sobrepasado por su cuadrado en una unidad; dicho de otra manera, consistirá en resolver la ecuación

x 2 = x + 1

o

x 2 - x - 1 = 0

cuyas raíces son, como hemos visto anteriormente

x = √5 + 1/2 = 1,618

x 1 = √5 - 1/2 = 0,618

Pero es más notable aún desde el punto de vista algebraico, pues permite convertir las expresiones de Φ en un binomio de primer grado.

Si se divide por Φ la expresión

Φ 2 = Φ + 1

se obtiene

Φ = 1 + 1/ Φ o

1/ Φ = Φ - 1 = 0,618

De lo que se deduce que la elevación al cuadrado del número de oro le añade la unidad y su inversa se la suprime. Si

Φ 2 = Φ + 1

las potencias sucesivas de Φ se podrán escribir

Φ 3 = Φ 2 + Φ

o

Φ 3 = Φ + 1 + Φ = 2 Φ + 1

con lo que resulta, por tanto, un binomio de primer grado. Y, para

Φ 4 = Φ 3 + Φ 2

sustituyendo tendremos

Φ 4 = 3 Φ + 2

Y esto se repetirá sucesivamente. Esta propiedad se formula algebraicamente así:

Φ n = un Φ + u (n-1)

siendo u el término general de la serie de Fibonacci:

Φ = 1 Φ

Φ 2 = 1 Φ +1

Φ 3 = 2 Φ +1

Φ 4 = 3 Φ +2

Φ 5 = 5 Φ + 3

Φ 6 = 8 Φ + 5, etc.

Una construcción geométrica muy sencilla permite representar sobre una misma línea recta la serie Φ (potencias positivas y negativas):

Tomando como unidad el segmento AB de la recta x, desde el punto B se traza la perpendicular BC = 1/2 AB; pasando por C se traza la recta Ay.

Con C como centro y CE como radio se señala el arco BG; con A como centro y AG como radio trazar el arco GD. Se eleva desde el punto D la perpendicular DH; con H como centro y HD como radio, se señala el arco OK, y con A como centro y AK como radio, el arco KE. Se traza la perpendicular EL.

Mediante el mismo método, se traza el arco EM, después el arco MF y así sucesivamente. Si

AB = 1

resulta que

AD = 1/ Φ ó Φ - 1

AE = Φ - 2

AF = Φ - 3

La construcción de potencias positivas es igualmente sencilla: con C como centro y CE como radio se traza el arco BO; después, con A como centro y AO como radio, el arco ON, con lo que se determina el punto N. Resulta que: AC = √5/2, que CO = 1/2, y que AN = AO = AC + CO = √5+1/2= Φ . Si se sigue el mismo procedimiento, se pueden trazar sobre el prolongamiento de Ax las longitudes correspondientes a Φ 2 , Φ 3 , y sucesivas.

Una propiedad característica del número de oro es que, además de introducir la asimetría, introduce una continuidad al infinito, facultad de repetirse indefinidamente, lo que le convierte, en palabras de Matila Ghyka, en «el más interesante de los números algebraicos inconmensurables».

Esta facultad se demuestra también en las propiedades geométricas de la sección áurea. Si, siguiendo el esquema inicial de «la división de una recta en media y extrema razón», trazamos el correspondiente rectángulo áureo, tendremos:

Un rectángulo en el cual se establecen las relaciones AE/EB = AB/AE = Φ, y nos encontraremos con un primer ejemplo de recurrencia formal.

Otra propiedad interesante de esta espiral es, que sea cual fuere la diferencia de longitud entre dos segmentos de la curva, la forma se mantiene constante; la espiral no tiene punto final, se extenderá indefinidamente hacia el exterior o el interior, pero permanecerá homotética, es decir, semejante a sí misma.

Esta propiedad peculiar de la espiral logarítmica, que no comparte con ninguna otra curva matemática, corresponde al principio biológico que rige el crecimiento de la concha del molusco: ésta crece a lo largo y a lo ancho para adaptarse al crecimiento del animal pero permanece siempre homotética.

Según D'Arcy Thompson, «la existencia de esta relación de crecimiento constante, de esta forma constante, constituye la esencia de la espiral equiangular y puede ser considerada como la base de su definición». Espirales como ésta han existido en la naturaleza desde hace millones de años. Es posible que éste sea el origen de la seducción que su belleza ejerce a la mirada humana. Theodore Cook ha estudiado la presencia de la espiral en la botánica, tanto en lo que se refiere al perfil de una planta o de sus diferentes partes, como en el análisis matemático de los diagramas de crecimiento y la disposición de las hojas y los granos; también los ha estudiado en los organismos animales, en los cuernos de los antílopes y las cabras... y observa que una progresión geométrica como la serie 0 se puede considerar como el esquema numérico de las pulsiones radiales de una espiral. «Toda espiral evoca una ley de crecimiento» afirma Ghyka, viendo en ello la causa del motivo de la espiral aplicado al arte o como detalle arquitectónico.

Uno de los participantes, Salvatore Caronia (director del Instituto de Composición Arquitectónica y de Urbanística de la Universidad de Palermo), escribe las impresiones de este primer congreso internacional destacando la supervivencia del espíritu de Pitágoras y el rigor del número, al mismo tiempo que se pregunta: «¿Cómo este grupo selecto de artistas de exquisita sensibilidad moderna que ha presidido la organización de la Trienal puede haber pensado en esta Mostra degli Studi delle proporzioni?

Es como si el artista comenzase a tener miedo de su propia libertad fuera de los límites de la tradición; con el temor de huir de aquella armonía universal que conforma y rige toda creación del hombre, ya sea artística o técnica, el artista busca una disciplina cuyas raíces se encuentran en el número y en la ininterrumpida tradición de estudios en el campo de la matemática y de la geometría, como han hecho los artistas de todos los siglos para deducir una guía, implícita o mediata, para su creación».

De hecho, en el congreso estaban representadas tendencias muy diversas: desde los idealistas convencidos, los estudiosos del tema de las proporciones, hasta los intransigentes que no sólo negaban cualquier posible acuerdo entre teoría y arte sino que incluso cuestionaban la eficacia y la razón de ser del propio congreso. No obstante, se desprendía un resultado claro de la discusión general: si bien toda obra de arte es autónoma, irrepetible en su esencia, se pueden reconocer ciertos valores estructurales, como la presencia de un orden interno que estaría en el origen de esta experiencia que denominamos belleza.

Por ejemplo, en Le Chahut, considera en primer lugar los dos ejes AB y CD que dividen la tela simétricamente vertical y horizontalmente; a continuación, las divisiones según la sección áurea: EF, GH, IJ y KL; las líneas de los rectángulos secundarios ST, UV, MN, OP; finalmente, las diagonales GJ, AL, 1L, CH, que dan las inclinaciones de las cabezas de los bailarines, del movimiento de las piernas, y la dirección del mástil del contrabajo. Por su parte, M. Marlais ha analizado la relación entre Seurat y sus compañeros de L'École des Beaux-Arts de París, Aman-Jean y Seon, muy influencia-dos por Puvis de Chavannes quien, afirma, construía su obra según la sección áurea. Con su estética y su técnica, Seurat quiso extraer del impresionismo ciertas conclusiones; éstas no sólo le superaron sino que contribuyeron a sentar las bases de movimientos posteriores como el Cubismo o el Purismo.

A principios del siglo XX, un grupo de artistas reivindicarán clamorosamente la sección áurea. En octubre de 1912 se inaugura en la Galerie La Boétie de París una exposición que ha sido reconocida como la principal manifestación y la última de la vanguardia en Francia antes de la I Guerra Mundial: La Section d'Or  éstos se inclinaban por una reflexión teórica