El estudio
de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en
general — tanto regulares como irregulares — como así también al círculo, que
puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho
estudio comprende:
Las
relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos
regulares;
Los métodos
para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos
para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e irregulares.
Líneas y
puntos en los polígonos. En los polígonos regulares, se consideran las
propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:
El perímetro — que está
formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.
La diagonal — que es la
línea que une dos ángulos no consecutivos.
El centro — que es el
punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.
El radio — que es la línea que une el centro
con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios
como ángulos.
El apotema — que es la línea perpendicular que
une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular
tiene tantos apotemas como lados.
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principio
Líneas y puntos en el círculo.
El círculo es la figura plana delimitada por
la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono
regular con infinitos lados.
En el círculo se consideran las propiedades
geométricas de las siguientes líneas y puntos:
La circunferencia — que lo delimita, y que es el
equivalente al perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan todos
los puntos de la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el
centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos
regulares, y también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando por el
centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el
doble del radio, es el equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos
puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos
puntos, es la cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que toca
solamente un punto de la circunferencia.
El arco — que es el tramo de la
circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea perpendicular al
punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.
El sector — que es la superficie comprendida
entre dos radios y el arco que delimitan.
Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se distinguen dos
tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los que se forman en el
vértice entre los lados.
Los ángulos centrales — que son los que se forman con
vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese
centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene
tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.
Por lo tanto, como la medida de la suma de
todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la
medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la
cantidad de lados.
Ángulo
central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
Ángulo
central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo
central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo
central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo
central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo
central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Polígonos inscriptos y
circunscriptos.
Se dice que
un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden
con puntos de su circunferencia.
Se dice que
un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos
sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.
Esa
determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los
ángulos centrales del polígono que se desea construir.
Para trazar un triángulo equilátero inscripto
en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar
el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la
vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con
extremos en la circunsferencia.
Los puntos
de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo
cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la
parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de
los otros dos lados.
Cálculo de la superficie de las
figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras
planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se
expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de
partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de
la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del
cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados
cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la
cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida —
es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los
lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo
en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el
vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede
expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE
DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso
del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento
de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE
DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula
de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores,
atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo
cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que
resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 =
40 ÷ 2 = 20. Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus
diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo
tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los
dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al
mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal
manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base
menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la
altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una
única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y
multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Propiedad
fundamental de los polígonos regulares.
Observando
las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta
la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado
de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas
son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al
perímetro del polígono.
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