Argumentos a favor y en contra de la armonía del rectángulo áureo

Desde los tiempos antiguos el perfeccionamiento de la arquitectura depende del establecimiento de interrelaciones armónicas dentro de un mismo edificio, las obras que consideramos maestras presentan una cadena de proporciones afines entre ellas. De entre los diversos sistemas proporcionales hay uno que ha jugado un papel muy destacado, la Sección Áurea: 1/1,618. Al encontrarse este número proporcional entre las formas animales y vegetales nos acerca a la naturaleza... La proporción es lo que puede purificar la arquitectura con la armonía matemática del pasado y reconciliarla con la naturaleza.

Una de las operaciones más sencillas que existen para afrontar el tema de la proporción consiste en dividir un segmento de línea de la forma asimétrica más simple:

a) Dado el segmento AB, se sitúa sobre BF, perpendicular a AB, un segmento BD = AB/2, y se une A con D. Con un compás, tomando como centro D, se obtiene DE = DB. Después tomando como centro A, se traza el arco de círculo EC, siendo C el punto buscado. La longitud AB se ha dividido en dos partes iguales de forma que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor.

AC/CB = AB/AC

a/b = (a + b)/a

Esta proporción, que corresponde a la partición más simple de una magnitud en dos partes desiguales o partición más lógica, es lo que Euclides en el libro VI, proposición 30, de los Elementos, plantea como «dividir una recta dada en extrema y media razón», y define así al inicio del mismo libro (del 3): «Se dice que una recta está dividida en extrema y media razón, cuando la totalidad del segmento es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor».

Cuando la totalidad del segmento constituye la unidad, la longitud del segmento mayor es 0,618 y la del segmento menor es 0,382.

Hay otra manera sencilla de encontrar esta proporción utilizando regla y compás, y que no parte de la totalidad del segmento sino del segmento mayor

:b) Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE, buscar el punto medio h del lado AC, unir h con D. Con h como centro, trazar desde D, el arco de círculo que haga intersección con la prolongación de AC, con lo que se obtiene el punto B. Tenemos que: AC/CB = AB/AC a/b = a + b/a

La relación a/b resultante de la «división de una recta en media y extrema razón» ha recibido diferentes denominaciones en el transcurso del tiempo, pero las definitivas le fueron otorgadas en el Renacimiento. Luca Pacioli la calificó como Divina Proporción en su obra De Divina Proportione, publicada en Venecia en 1509, en la que justifica tal denominación en base a las correspondencias que encuentra entre esta proporción y la divinidad misma. Destaca cinco:

                                                                                                            

Ella es una y nada más que una y no es posible asignarle otras especies ni diferencias.

Así como in divinis hay una misma sustancia entre tres personas, Padre, Hijo y Espíritu Santo, de la misma manera una misma proporción de esta suerte siempre se encontrará entre tres términos.

Dios, propiamente, no se puede definir ni puede ser entendido por nosotros con palabras; de igual manera esta proporción no puede jamás determinarse con número inteligible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que siempre es oculta y secreta y los matemáticos la llaman irracional.

Así como Dios jamás puede cambiar y es todo en todo, y está todo en todas partes, esta proporción es siempre la misma e invariable y de ninguna manera puede cambiarse.

Finalmente, así como Dios confiere al ser la virtud celeste, por ella a los cuatro elementos y a través de ellos a la naturaleza, esta proporción da el ser formal, aquí Pacioli cita a Platón y a su diálogo Timeo, al cielo mismo, atribuyéndole la figura del dodecaedro, sólido compuesto por doce cartas pentagonales que no es posible formar sin la divina proporción.

Según Pacioli, Leonardo da Vinci fue el ilustrador De Divina Proportione, y es precisamente a él a quien se atribuye la otra denominación con que es conocida esta proporción: sectio aure a (sección áurea) de donde provienen los nombres de Sección de Oro , Golden Section , Goldene Schnitt, Section d'Or , etc.

La sección áurea, que corresponde a la relación a/b, también puede ser expresada por el número que de ella resulta, un número irracional cuyo valor aproximado en fracciones decimales es:

1,61803398875...

o, más simplemente,

1,618 = número de oro

Veamos su construcción gráfica:

AK = AG + GK = √5/2 + 1/2 = √5 +1/2 = 1,618 = Φ

La letra griega Φ fue sugerida por Mark Barr y W. Schooling en los anexos matemáticos del libro de Theodore Cook The Curves of Life para nombrar el número de oro, por ser la letra inicial de Fidias. El número de oro presenta una serie de características que lo convierten en un número realmente único. Matila Ghyka ha demostrado todas sus propiedades aritméticas y algebraicas, y afirma que «esta razón aparece como una invariante logística que procede del cálculo de relaciones y clases del que Peano, Bertrand Russell y Couturat han demostrado que se puede deducir toda la matemática pura partiendo del principio de identidad».

La serie Φ es una progresión geométrica cuya razón es Φ con la siguiente propiedad: un término cualquiera de la serie es igual a la suma de los dos precedentes:

1, Φ, Φ 1 , Φ 2 , ...Φ n , ...

La principal consecuencia práctica de esta propiedad es que partiendo de sus términos consecutivos se puede construir la serie ascendente o descendente de los otros mediante adiciones o sustracciones.

Se trata de una serie multiplicativa y aditiva a la vez, es decir, participa simultáneamente de la naturaleza de una progresión geométrica y de otra aritmética.

El cuadrado es especialmente interesante: el número de oro se eleva al cuadrado sumándole la unidad:

Φ 2 = Φ + 1

Propiedad que resulta notable desde el punto de vista aritmético:

Φ = 1,618

en lugar de multiplicar:

Φ 2 = 1,618 x 1,618

es suficiente escribir:

Φ 2 = Φ + 1 = 2,618.

Suponiendo desconocido el valor de Φ , éste podría ser hallado a partir de la igualdad

Φ 2 = Φ + 1

Se trataría de encontrar un número tal que fuese sobrepasado por su cuadrado en una unidad; dicho de otra manera, consistirá en resolver la ecuación

x 2 = x + 1

o

x 2 - x - 1 = 0

cuyas raíces son, como hemos visto anteriormente

x = √5 + 1/2 = 1,618

x 1 = √5 - 1/2 = 0,618

Pero es más notable aún desde el punto de vista algebraico, pues permite convertir las expresiones de Φ en un binomio de primer grado.

Si se divide por Φ la expresión

Φ 2 = Φ + 1

se obtiene

Φ = 1 + 1/ Φ o

1/ Φ = Φ - 1 = 0,618

De lo que se deduce que la elevación al cuadrado del número de oro le añade la unidad y su inversa se la suprime. Si

Φ 2 = Φ + 1

las potencias sucesivas de Φ se podrán escribir

Φ 3 = Φ 2 + Φ

o

Φ 3 = Φ + 1 + Φ = 2 Φ + 1

con lo que resulta, por tanto, un binomio de primer grado. Y, para

Φ 4 = Φ 3 + Φ 2

sustituyendo tendremos

Φ 4 = 3 Φ + 2

Y esto se repetirá sucesivamente. Esta propiedad se formula algebraicamente así:

Φ n = un Φ + u (n-1)

siendo u el término general de la serie de Fibonacci:

Φ = 1 Φ

Φ 2 = 1 Φ +1

Φ 3 = 2 Φ +1

Φ 4 = 3 Φ +2

Φ 5 = 5 Φ + 3

Φ 6 = 8 Φ + 5, etc.

Una construcción geométrica muy sencilla permite representar sobre una misma línea recta la serie Φ (potencias positivas y negativas):

Tomando como unidad el segmento AB de la recta x, desde el punto B se traza la perpendicular BC = 1/2 AB; pasando por C se traza la recta Ay.

Con C como centro y CE como radio se señala el arco BG; con A como centro y AG como radio trazar el arco GD. Se eleva desde el punto D la perpendicular DH; con H como centro y HD como radio, se señala el arco OK, y con A como centro y AK como radio, el arco KE. Se traza la perpendicular EL.

Mediante el mismo método, se traza el arco EM, después el arco MF y así sucesivamente. Si

AB = 1

resulta que

AD = 1/ Φ ó Φ - 1

AE = Φ - 2

AF = Φ - 3

La construcción de potencias positivas es igualmente sencilla: con C como centro y CE como radio se traza el arco BO; después, con A como centro y AO como radio, el arco ON, con lo que se determina el punto N. Resulta que: AC = √5/2, que CO = 1/2, y que AN = AO = AC + CO = √5+1/2= Φ . Si se sigue el mismo procedimiento, se pueden trazar sobre el prolongamiento de Ax las longitudes correspondientes a Φ 2 , Φ 3 , y sucesivas.

Una propiedad característica del número de oro es que, además de introducir la asimetría, introduce una continuidad al infinito, facultad de repetirse indefinidamente, lo que le convierte, en palabras de Matila Ghyka, en «el más interesante de los números algebraicos inconmensurables».

Esta facultad se demuestra también en las propiedades geométricas de la sección áurea. Si, siguiendo el esquema inicial de «la división de una recta en media y extrema razón», trazamos el correspondiente rectángulo áureo, tendremos:

Un rectángulo en el cual se establecen las relaciones AE/EB = AB/AE = Φ, y nos encontraremos con un primer ejemplo de recurrencia formal.

Otra propiedad interesante de esta espiral es, que sea cual fuere la diferencia de longitud entre dos segmentos de la curva, la forma se mantiene constante; la espiral no tiene punto final, se extenderá indefinidamente hacia el exterior o el interior, pero permanecerá homotética, es decir, semejante a sí misma.

Esta propiedad peculiar de la espiral logarítmica, que no comparte con ninguna otra curva matemática, corresponde al principio biológico que rige el crecimiento de la concha del molusco: ésta crece a lo largo y a lo ancho para adaptarse al crecimiento del animal pero permanece siempre homotética.

Según D'Arcy Thompson, «la existencia de esta relación de crecimiento constante, de esta forma constante, constituye la esencia de la espiral equiangular y puede ser considerada como la base de su definición». Espirales como ésta han existido en la naturaleza desde hace millones de años. Es posible que éste sea el origen de la seducción que su belleza ejerce a la mirada humana. Theodore Cook ha estudiado la presencia de la espiral en la botánica, tanto en lo que se refiere al perfil de una planta o de sus diferentes partes, como en el análisis matemático de los diagramas de crecimiento y la disposición de las hojas y los granos; también los ha estudiado en los organismos animales, en los cuernos de los antílopes y las cabras... y observa que una progresión geométrica como la serie 0 se puede considerar como el esquema numérico de las pulsiones radiales de una espiral. «Toda espiral evoca una ley de crecimiento» afirma Ghyka, viendo en ello la causa del motivo de la espiral aplicado al arte o como detalle arquitectónico.

Uno de los participantes, Salvatore Caronia (director del Instituto de Composición Arquitectónica y de Urbanística de la Universidad de Palermo), escribe las impresiones de este primer congreso internacional destacando la supervivencia del espíritu de Pitágoras y el rigor del número, al mismo tiempo que se pregunta: «¿Cómo este grupo selecto de artistas de exquisita sensibilidad moderna que ha presidido la organización de la Trienal puede haber pensado en esta Mostra degli Studi delle proporzioni?

Es como si el artista comenzase a tener miedo de su propia libertad fuera de los límites de la tradición; con el temor de huir de aquella armonía universal que conforma y rige toda creación del hombre, ya sea artística o técnica, el artista busca una disciplina cuyas raíces se encuentran en el número y en la ininterrumpida tradición de estudios en el campo de la matemática y de la geometría, como han hecho los artistas de todos los siglos para deducir una guía, implícita o mediata, para su creación».

De hecho, en el congreso estaban representadas tendencias muy diversas: desde los idealistas convencidos, los estudiosos del tema de las proporciones, hasta los intransigentes que no sólo negaban cualquier posible acuerdo entre teoría y arte sino que incluso cuestionaban la eficacia y la razón de ser del propio congreso. No obstante, se desprendía un resultado claro de la discusión general: si bien toda obra de arte es autónoma, irrepetible en su esencia, se pueden reconocer ciertos valores estructurales, como la presencia de un orden interno que estaría en el origen de esta experiencia que denominamos belleza.

Por ejemplo, en Le Chahut, considera en primer lugar los dos ejes AB y CD que dividen la tela simétricamente vertical y horizontalmente; a continuación, las divisiones según la sección áurea: EF, GH, IJ y KL; las líneas de los rectángulos secundarios ST, UV, MN, OP; finalmente, las diagonales GJ, AL, 1L, CH, que dan las inclinaciones de las cabezas de los bailarines, del movimiento de las piernas, y la dirección del mástil del contrabajo. Por su parte, M. Marlais ha analizado la relación entre Seurat y sus compañeros de L'École des Beaux-Arts de París, Aman-Jean y Seon, muy influencia-dos por Puvis de Chavannes quien, afirma, construía su obra según la sección áurea. Con su estética y su técnica, Seurat quiso extraer del impresionismo ciertas conclusiones; éstas no sólo le superaron sino que contribuyeron a sentar las bases de movimientos posteriores como el Cubismo o el Purismo.

A principios del siglo XX, un grupo de artistas reivindicarán clamorosamente la sección áurea. En octubre de 1912 se inaugura en la Galerie La Boétie de París una exposición que ha sido reconocida como la principal manifestación y la última de la vanguardia en Francia antes de la I Guerra Mundial: La Section d'Or  éstos se inclinaban por una reflexión teórica